Question

20．有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過38，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 5個(gè)
• C． 6個(gè)
• D． 7個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)相鄰正方體的關(guān)系得出個(gè)正方體的棱長為等比數(shù)列，求出塔形表面積S_n的通項(xiàng)公式，令S_n＞38即可得出n的范圍．

解答 解：設(shè)從最底層開始的第n層的正方體棱長為a_n，則{a_n}為以2為首項(xiàng)，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴{a_n²}是以4為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的對(duì)比數(shù)列．
∴塔形的表面積S_n=6a₁²+4a₂²+4a₃²+…+4a_n²=4a₁²+4a₂²+4a₃²+…+4a_n²+2a₁²
=4×$\frac{4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+8=40-$\frac{32}{{2}^{n}}$，
令40-$\frac{32}{{2}^{n}}$＞38，解得n＞4．
∴塔形正方體最少為5個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的面積計(jì)算，數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．