Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow$=（cosx，2），x∈R，函數(shù)f（x）=a•b，
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，求|a+b|的最大值與最小值；
（2）設(shè)f（α）=$\frac{12}{5}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求tan（2α+$\frac{3π}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值和最小值即可；
（2）求出f（α）的解析式，求出sin2α，cos2α，從而求出tan（2α+$\frac{3π}{4}$）的值即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow$=（cosx，2），x∈R，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（sinx+cosx）}^{2}{+（1+2）}^{2}}$=$\sqrt{sin2x+10}$，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
y=sin2x的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{2}$，
故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值是$\sqrt{11}$，最小值是$\frac{\sqrt{38}}{2}$；
（2）函數(shù)f（x）=a•b=sinxcosx+2=$\frac{1}{2}$sin2x+2，
∴f（α）=$\frac{1}{2}$sin2α+2=$\frac{12}{5}$，解得：sin2α=$\frac{4}{5}$，
由α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），得2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
故cos2α=-$\frac{3}{5}$，
故tan（2α+$\frac{3π}{4}$）
=$\frac{sin（2α+\frac{3π}{4}）}{cos（2α+\frac{3π}{4}）}$
=$\frac{sin2αcos\frac{3π}{4}+cos2αsin\frac{3π}{4}}{cos2αcos\frac{3π}{4}-sin2αsin\frac{3π}{4}}$
=$\frac{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}$
=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．