Question

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow$），則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=r，（r＞0），由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow$）可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，結(jié)合數(shù)量積的計算公式可得r²=2r²cosθ，解可得cosθ的值，結(jié)合θ的范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=r，（r＞0）
若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow$），則有$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即有r²=2r²cosθ，
解可得cosθ=$\frac{1}{2}$，
又由0°≤θ≤180°，
則θ=60°，
故答案為：60°．

點評 本題考查向量數(shù)量積的計算，關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積的計算公式．