Question

1．在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），M是C上任意一點；以前述坐標系的原點O為極點、Ox為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求直線OA直角坐標方程；    
（Ⅱ）求|AM|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點A的極坐標為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），可知直線OA經(jīng)過原點，傾斜角為$\frac{π}{4}$，即可得出方程．
（Ⅱ）點A的極坐標為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），利用互化公式化為直角坐標，由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程可得圓心為C，半徑r．可得|AM|_min=|AC|-r．

解答 解：（Ⅰ）由點A的極坐標為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{y}{x}=tan\frac{π}{4}$，
∴直線OA的方程為：y=x．
（Ⅱ）點A的極坐標為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標A（4，4），
由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程：（x-1）²+y²=2，
∴圓心為C（1，0），半徑為$\sqrt{2}$．
由于點A在圓外，且|AC|=5，
∴|AM|_min=5-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．