Question

16．P（3cosθ，sinθ）是銳角α終邊上一點，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$．記y=θ-α，則 y的最大值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 依題意可求tanα=$\frac{1}{3}$tanθ，利用兩角和的正切函數(shù)公式，基本不等式可得，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得函數(shù)y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值．

解答 解：依題意，$-\frac{π}{2}＜y＜\frac{π}{2}$，
$tanα=\frac{sinθ}{3cosθ}=\frac{1}{3}tanθ$，
故$tany=tan（θ-α）=\frac{{tanθ-\frac{tanθ}{3}}}{{1+\frac{{{{tan}^2}θ}}{3}}}$=$\frac{2}{3}•\frac{1}{{\frac{1}{tanθ}+\frac{tanθ}{3}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時y_max=$\frac{π}{6}$，
故選：A．

點評 本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正切函數(shù)公式，基本不等式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，考查了計算能力，屬于中檔題．