Question

6．設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$，則橢圓E的離心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知A（a，0）、B（0，b），由向量的坐標(biāo)表示，求得M坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式求得a和b的關(guān)系，根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得橢圓E的離心率e．

解答 解：設(shè)M（x，y），A（a，0）、B（0，b），
∵$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，
即（x-0，y-b）=2（a-x，0-y），
解得：x=$\frac{2}{3}$a，y=$\frac{1}{3}$b，即M（$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$b），
又∵直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴$\frac{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴a=$\sqrt{5}$b，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2b，
∴橢圓E的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的離心率公式及直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．