Question

20．設(shè)$f（x）=sinxcosx-{cos^2}（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）在銳角△ABC中，A、B、C的對邊分別為a，b，c，若$f（{\frac{A}{2}}）=0，a=1$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）根據(jù)$f（{\frac{A}{2}}）=0，a=1$，求出sinA，可得cosA，利用余弦定理，利用基本不等式的性質(zhì)求出bc的值，可得△ABC面積的最大值．

解答 解：（I）$f（x）=sinxcosx-{cos^2}（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$．
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=sin2x-$\frac{1}{2}$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$-\frac{π}{4}+kπ$≤x≤$\frac{π}{4}+kπ$（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[$-\frac{π}{4}+kπ$，$\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z
（II）由f（$\frac{A}{2}$）=0，即sinA-$\frac{1}{2}$=0，
可得sinA=$\frac{1}{2}$，
$0＜A＜\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
可得1+$\sqrt{3}$bc=b²+c²．
∵b²+c²≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立．
∴1+$\sqrt{3}$bc≥2bc，
bc≤2$+\sqrt{3}$．
∴△ABC面積的最大值S=$\frac{1}{2}$bcSin≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
故得三角形ABC面積最大值為$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．同時考查了余弦定理和不等式的性質(zhì)的運用，屬于中檔題．