Question

10．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由導(dǎo)函數(shù)可求原函數(shù)f（x），判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性和奇偶性，利用奇偶性將不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0 等價(jià)于f（1-x）＜f（x²-1）．利用單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)f 即可解得所求，注意自變量本身范圍．

解答 解：∵f'（x）=3+cosx，知f（x）=3x+sinx+c，而f（0）=0，
∴c=0．
即f（x）=3x+sinx，易知此函數(shù)是奇函數(shù)，且在整個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增，
因?yàn)閒'（x）=3+cosx在x∈（-1，1）恒大于0，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上亦是單調(diào)遞增的．
由 f（1-x）+f（1-x²）＜0 可得 f（1-x）＜-f（1-x²），即：f（1-x）＜f（x²-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-x＜1}\\{-1＜{x}^{2}-1＜1}\\{1-x＜{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得解得：x∈（1，$\sqrt{2}$），
故答案為：（1，$\sqrt{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．