Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．焦距為2c，且c，$\sqrt{2}$，2成等比數(shù)列．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）點B坐標為（0，$\sqrt{2}$），問是否存在過點B的直線1交橢圓C于M，N兩點，且滿足$\overrightarrow{OM}$$⊥\overrightarrow{ON}$（O為坐標原點）？若存在，求出此時直線l的方程．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可知：（$\sqrt{2}$）²=2c，橢圓的離心率可得a=$\sqrt{2}$c，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得k的值，直線l的方程．

解答 解：（I）由題意離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
由c，$\sqrt{2}$，2成等比數(shù)列則（$\sqrt{2}$）²=2c，即c=1，a=$\sqrt{2}$，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）存在過點B的直線1交橢圓C于M，N兩點，且滿足$\overrightarrow{OM}$$⊥\overrightarrow{ON}$，
由題意可知：直線MN的斜率存在，則直線MN的方程y=kx+$\sqrt{2}$，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$kx+2=0，
則△=（4$\sqrt{2}$k）²-4×（1+2k²）×2＞0，整理得：k²＞$\frac{1}{2}$，解得：k＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
則y₁y₂=（kx₁+$\sqrt{2}$）（kx₂+$\sqrt{2}$）=k²x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0，整理得：k²=2，解得：k=$\sqrt{2}$或k=-$\sqrt{2}$，
則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$，
綜上可知：存在這樣的直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$橢圓C于M，N兩點，且滿足$\overrightarrow{OM}$$⊥\overrightarrow{ON}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．