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8.已知函數(shù)f(x)=mlnx+(m-1)x(m∈R).
(Ⅰ)當m=3時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)當m=2時求出導(dǎo)數(shù)f′(x),則切線斜率k=f′(1),f(1)=1,利用點斜式即可求得切線方程;
(Ⅱ)先求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)分m≤0,m≥1,0<m<1三種情況解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;當m≤0或m≥1時f(x)單調(diào),最值情況易判斷;當0<m<1時,由單調(diào)性易求得其最大值,令其大于0,解出即可;

解答 解:(Ⅰ)當m=3時,f(x)=3lnx+2x.f′(x)=3x+2=2x+3x,
所以f'(1)=5,又f(1)=2,
所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是y-2=5(x-1),
即5x-y-3=0.
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=mx+m-1=m1x+mx,
當m≤0時,由x>0知f′(x)=mx+m-1<0恒成立,
此時f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
當m≥1時,由x>0知f′(x)=mx+m-1>0恒成立,
此時f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故m≤0或m≥1時,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào),此時函數(shù)f(x)無最大值,
當0<m<1時,由f'(x)>0,得x<m1m,由f'(x)<0,得x>m1m,
此時f(x)在區(qū)間(0,m1m)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間( m1m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
所以當0<m<1時函數(shù)f(x)有最大值,最大值M=f( m1m)=mln m1m-m,
因為M>0,所以有mln m1m-m>0,解之得m>e1+e
所以m的取值范圍是( e1+e,1).

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及切線問題,考查分類討論思想,考查學生分析解決問題的能力.

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