Question

8．已知函數(shù)f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）當m=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當m=2時求出導(dǎo)數(shù)f′（x），則切線斜率k=f′（1），f（1）=1，利用點斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)分m≤0，m≥1，0＜m＜1三種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；當m≤0或m≥1時f（x）單調(diào)，最值情況易判斷；當0＜m＜1時，由單調(diào)性易求得其最大值，令其大于0，解出即可；

解答 解：（Ⅰ）當m=3時，f（x）=3lnx+2x．f′（x）=$\frac{3}{x}$+2=$\frac{2x+3}{x}$，
所以f'（1）=5，又f（1）=2，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y-2=5（x-1），
即5x-y-3=0．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{m}{x}$+m-1=$\frac{（m-1）x+m}{x}$，
當m≤0時，由x＞0知f′（x）=$\frac{m}{x}$+m-1＜0恒成立，
此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當m≥1時，由x＞0知f′（x）=$\frac{m}{x}$+m-1＞0恒成立，
此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故m≤0或m≥1時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)，此時函數(shù)f（x）無最大值，
當0＜m＜1時，由f'（x）＞0，得x＜$\frac{m}{1-m}$，由f'（x）＜0，得x＞$\frac{m}{1-m}$，
此時f（x）在區(qū)間（0，$\frac{m}{1-m}$）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（ $\frac{m}{1-m}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
所以當0＜m＜1時函數(shù)f（x）有最大值，最大值M=f（ $\frac{m}{1-m}$）=mln $\frac{m}{1-m}$-m，
因為M＞0，所以有mln $\frac{m}{1-m}$-m＞0，解之得m＞$\frac{e}{1+e}$，
所以m的取值范圍是（ $\frac{e}{1+e}$，1）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及切線問題，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．