Question

15．已知函數f（x）=2x²+3，g（x）=a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，若對于任意的x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，3）
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 根據題意，得出f（x）＞g（x）恒成立時2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$對任意的實數x恒成立，轉化為a＜$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$對任意的實數x恒成立；
設a（x）=$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，利用換元法求出a（x）的最小值，從而求出a（x）的最小值．

解答 解：∵函數f（x）=2x²+3，g（x）=a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
當對于任意的x∈R，f（x）＞g（x）恒成立時，
即2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$對任意的實數x恒成立，
即不等式a＜$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$對任意的實數x恒成立；
設h（x）=$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
則h（x）=$\frac{{2x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
設t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥1，∴a（t）=2t+$\frac{1}{t}$，∴a′（t）=2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴a（t）在[1，+∞）上是單調增函數，
∴a（t）_min=g（1）=2+1=3；
∴a（x）的最小值為3，
∴a的取值范圍是（-∞，3）．
故選：C．

點評 本題考查了不等式的恒成立問題，也考查了函數的最值問題，是綜合性題目．