Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₄=4；數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₂，b₂=a₅，數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式即可得出．
（Ⅱ）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₄=4，
∴公差d=$\frac{4-1}{3}$=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₂=2，b₂=a₅=5，
∴b₁-a₁=1，b₂-a₂=3．
∴等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比q=$\frac{3}{1}$=3，
∴b_n-a_n=3^n-1，
∴b_n=n+3^n-1．
（Ⅱ）由b_n=n+3^n-1得
S_n=（1+2+3+…+n）+（1+3+3²+…+3^n-1）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．