Question

已知函數(shù)f（x）=ax-e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）當a=

1

e

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）當2≤a≤e+2時，求證f（x）≤2x．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=

1

e

時，f(x)=

1

e

x-ex，求導并令f′(x)=

1

e

-ex=0，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求極值．
（Ⅱ）令F（x）=2x-f（x）=e^x-（a-2）x；分a=2與2＜a≤2+e討論從而確定函數(shù)的最值，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）當a=

1

e

時，f(x)=

1

e

x-ex
令f′(x)=

1

e

-ex=0，得x=-1；
當x＜-1時，f'（x）＞0；當x＞-1時，f'（x）＜0；
∴，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）；
當x=-1時，函數(shù)f（x）有極大值-

2

e

；沒有極小值．
（Ⅱ）證明：令F（x）=2x-f（x）=e^x-（a-2）x；
①當a=2時，F(xiàn)（x）=e^x＞0；
∴，f（x）≤2x；
②當2＜a≤2+e時，F(xiàn)'（x）=e^x-（a-2）=e^x-e^ln（a-2）
當x＜ln（a-2）時，F(xiàn)'（x）＜0；當x＞ln（a-2）時，F(xiàn)'（x）＞0；
∴F（x）在（-∞，ln（a-2））單調(diào)遞減，在（ln（a-2），+∞）上單調(diào)遞增．
∴F（x）≥F（ln（a-2））=e^ln（a-2）-（a-2）ln（a-2）=（a-2）[1-ln（a-2）]，
∵2＜a≤2+e，
∴a-2＞0，1-ln（a-2）≥1-ln[（2+e）-2]=0，
∴F（x）≥0，即f（x）≤2x；
綜上，當2≤a≤e+2時，f（x）≤2x．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．