Question

設(shè)f（x）=x²-x-blnx+m，（b，m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=3時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）+blnx，求函數(shù)y=h（x）在（0，m]上的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)b=1時，若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）配方法，分類討論，即可求函數(shù)y=h（x）在（0，m]上的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)b=1時，函數(shù)f（x）有零點，即x²-x-lnx+m=0有解，即m=-x²+x+lnx有解．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)b=3時，f（x）=x²-x-3lnx+m，則f′（x）=

(2x-3)(x+1)

x

（x＞0），
∴f（x）在[

3

2

，+∞）上單調(diào)遞增；在（0，

3

2

）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）h（x）=f（x）+blnx=(x-

1

2

)2+m-

1

4（x＞0），
∴0＜m≤

1

2

時，函數(shù)h（x）在（0，m]上單調(diào)遞減，∴h（x）_min=h（m）=m²；
m＞

1

2

時，函數(shù)h（x）在（0，

1

2

]上單調(diào)遞減，在[

1

2

，m]上單調(diào)遞增，∴h（x）_min=h（

1

2

）=m-

1

4

．
（Ⅲ）當(dāng)b=1時，函數(shù)f（x）有零點，即x²-x-lnx+m=0有解，即m=-x²+x+lnx有解．
令g（x）=-x²+x+lnx，則g′（x）=

(x-1)(2x+1)

x

，
∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．在（0，1）上是增函數(shù)，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴函數(shù)f（x）有零點時，m≤0．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．