Question

16．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知2acosB=c，且滿足 sinAsinB（2-cosC）=sin²$\frac{C}{2}$+$\frac{1}{2}$，則△ABC為（　�。�

• A． 銳角非等邊三角形
• B． 等邊三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 鈍角三角形

Answer 1

分析 已知第一個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式及內(nèi)角和定理表示，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到A=B，第二個(gè)等式左邊前兩個(gè)因式利用積化和差公式變形，右邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將A+B=C，A-B=0代入計(jì)算求出cosC的值為0，進(jìn)而確定出C為直角，即可確定出三角形形狀．

解答 解：將已知等式2acosB=c，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinAcosB=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A與B都為△ABC的內(nèi)角，
∴A-B=0，即A=B，
已知第二個(gè)等式變形得：sinAsinB（2-cosC）=$\frac{1}{2}$（1-cosC）+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cosC，
-$\frac{1}{2}$[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-$\frac{1}{2}$cosC，
∴-$\frac{1}{2}$（-cosC-1）（2-cosC）=1-$\frac{1}{2}$cosC，
即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，
整理得：cos²C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，
∴cosC=0或cosC=2（舍去），
∴C=90°，
則△ABC為等腰直角三角形．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，積化和差公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．