Question

6．（x-y）（x+2y+z）⁶的展開式中，xy³z³項的系數(shù)為-80．

Answer 1

分析 根據(jù)（x+2y+z）⁶展開式中沒有x，含有y的指數(shù)為3，z的指數(shù)為3，即可出現(xiàn)xy³z³項，；（x+2y+z）⁶展開式中有x的指數(shù)為1，含有y的指數(shù)為2，z的指數(shù)為3，即可出現(xiàn)xy³z³項，利用通項求解戶合拼即可．

解答 解：（x-y）（x+2y+z）⁶的展開式中，將（x+2y+z）⁶的三項化兩項為[（x+2y）+z]²，由通項公式：可得T_r+1=${C}_{6}^{r}（x+2y）^{6-r}{z}^{r}$，由題意，可知r=3．
那么（x+2y）³由通項公式：可得T_k+1=${C}_{3}^{k}{x}^{3-k}{（-2）}^{k}{y}^{k}$，
若（x-y）中提供x，則（x+2y）³展開式中沒有x，含有y的指數(shù)為3，z的指數(shù)為3，即可得xy³z³項，可知：k=3，
若（x-y）中提供-y，則（x+2y）³展開式中含有x的指數(shù)為1，含有y的指數(shù)為2，z的指數(shù)為3，即可得xy³z³項，可知：k=2，
∴xy²z³項的系數(shù)為${C}_{6}^{3}$${C}_{3}^{3}{（2）}^{3}$+${C}_{6}^{3}{C}_{3}^{2}（2）^{2}$=-80．
故答案為：-80．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，注意展開式關(guān)系，分情況討論，屬于中檔偏難題，