Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)（﹣1， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知?jiǎng)又本�(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得 恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，c=1

∵點(diǎn)（﹣1， ）在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義可得：2a= ，∴a=

∴b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：假設(shè)x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得 恒成立

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，A（ ，0），B（﹣ ，0），則 =﹣ ，∴ ，∴m= ①

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)， ， ，則 =﹣ ，

∴

∴m= 或m= ②

由①②可得m= ．

下面證明m= 時(shí)， 恒成立

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直線(xiàn)方程代入橢圓方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∴ =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（ty1﹣ ）（ty2﹣ ）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣ t（y1+y2）+ = + =﹣

綜上，x軸上存在點(diǎn)Q（ ，0），使得 恒成立

【解析】（1）利用橢圓的定義求得a的值，進(jìn)而求得b的值，即可求得橢圓的方程；（2）先假設(shè)點(diǎn)Q存在，進(jìn)而求得此時(shí)m的值，再證明m取該值時(shí)所給的關(guān)于向量的等式成立.
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．