Question

5．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），直線l：y=-2，且拋物線的焦點到直線l的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）動點P在直線l上，過P點作拋物線的切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為Q，證明：PQ⊥x軸．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點及準線方程，由$\frac{p}{2}$-（-2）=3，即可求得p的值，求得拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B點坐標，利用中點坐標公式，求得中點Q點坐標，利用導數(shù)求得切線的斜率，求得PA及PB的方程，聯(lián)立即可求得P點坐標，由由P的橫坐標與Q的橫坐標相等，PQ⊥x軸．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線C：x²=2py焦點F（0，$\frac{p}{2}$），準線方程：y=-$\frac{p}{2}$，
拋物線的焦點到直線l的距離為3，即$\frac{p}{2}$-（-2）=3，解得：p=2，
∴拋物線的方程x²=4y；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$），線段AB的中點Q（x₀，y₀），
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₀，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{8}$，
∵y=$\frac{1}{4}$x²，則y′=$\frac{1}{2}$x，
∴拋物線x²=4y在A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$）點處的切線斜率為$\frac{1}{2}$x₁，在B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$）點處的切線斜率為$\frac{1}{2}$x₂，
∴切線PA：y=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）+$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$；切線PB：y=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂）+$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，
聯(lián)立可得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），
由P的橫坐標與Q的橫坐標相等，
∴PQ⊥x軸．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線相切位置關(guān)系的判斷，導數(shù)與曲線的切線斜率之間的關(guān)系，屬于中檔題．