Question

10．在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=3+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（其中θ為參數(shù)）．
（Ⅰ） 以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程；
（ II）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于A，B兩點，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先把曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標方程，由此能求出曲線C的極坐標方程．
（Ⅱ）求出直線l的直角坐標方程為y=tanα•x，圓心C（0，3）到直線的距離d=$\frac{|3|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$，再由$|AB|=2\sqrt{3}$，利用勾股定理求出tan²α=$\frac{7}{2}$，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=3+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（其中θ為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標方程為x²+（y-3）²=5，即x²+y²-6y+4=0，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρsinθ+4=0．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），
∴直線l的直角坐標方程為y=tanα•x，
圓心C（0，3）到直線的距離d=$\frac{|3|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$，
∵直線l與曲線C分別交于A，B兩點，且$|AB|=2\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{{r}^{2}-lpfvbpn^{2}}=\frac{|AB|}{2}$，
即$\sqrt{5-\frac{9}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{3}$，解得tan²α=$\frac{7}{2}$，
∴tanα=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴直線l的斜率為$±\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題考查圓、直線方程、極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．