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3.已知函數(shù)f(x)=lnx-x2-x.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)若函數(shù)g(x)=af(x)+ax2-3(a∈R)的圖象在點(2,g(2))處的切線與直線x-y=3平行,對于任意的t∈[1,2],函數(shù)h(x)={x^3}+{x^2}[{g^'}(x)+\frac{m}{2}]在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.

分析 (1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)先求出a的值,從而求出函數(shù)h(x)的表達式,求出h(x)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,得到不等式組,從而求出m的范圍.

解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=1x-2x-1=12x2xx
令f′(x)>0,即(2x-1)(x+1)<0,解得:0<x<12,
令f′(x)<0,即(2x-1)(x+1)>0,解得:x>12
故f(x)在(0,12)遞增,在(12,+∞)遞減,
故f(x)的最大值是f(12)=-ln2-34;
(2)g(x)=af(x)+ax2-3=alnx-ax-3,
g′(x)=ax-a,g′(2)=a2=1?a=-2,
∴g(x)=-2lnx+2x-3,g′(x)=2-2x,
故h(x)=x3+(2+m2)x2-2x,
∴h′(x)=3x2+(4+m)x-2,
∵函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù),
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總存在零點,
又∵函數(shù)h′(x)是開口向上的二次函數(shù),且h′(0)=-2<0,
{ht0h40,
由h′(t)<0?m<2t-3t-4,
令H(t)=2t-3t-4,則H′(t)=-2t2-3<0,
所以H(t)在上[1,2]單調(diào)遞減,所以m<H(t)min=H(2)=-9;
由h′(4)=48+4(4+m)-2>0,解得:m>-312;
綜上得:-312<m<-9,
所以當(dāng)m在(-312,-9)內(nèi)取值時,對于任意的t∈[1,2],
函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,本題是一道難題.

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