分析 (1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)先求出a的值,從而求出函數(shù)h(x)的表達(dá)式,求出h(x)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,得到不等式組,從而求出m的范圍.
解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{1}{x}$-2x-1=$\frac{1-{2x}^{2}-x}{x}$,
令f′(x)>0,即(2x-1)(x+1)<0,解得:0<x<$\frac{1}{2}$,
令f′(x)<0,即(2x-1)(x+1)>0,解得:x>$\frac{1}{2}$,
故f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)遞增,在($\frac{1}{2}$,+∞)遞減,
故f(x)的最大值是f($\frac{1}{2}$)=-ln2-$\frac{3}{4}$;
(2)g(x)=af(x)+ax2-3=alnx-ax-3,
g′(x)=$\frac{a}{x}$-a,g′(2)=$\frac{a}{2}$=1?a=-2,
∴g(x)=-2lnx+2x-3,g′(x)=2-$\frac{2}{x}$,
故h(x)=x3+(2+$\frac{m}{2}$)x2-2x,
∴h′(x)=3x2+(4+m)x-2,
∵函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù),
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總存在零點,
又∵函數(shù)h′(x)是開口向上的二次函數(shù),且h′(0)=-2<0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{h′(t)<0}\\{h′(4)<0}\end{array}\right.$,
由h′(t)<0?m<$\frac{2}{t}$-3t-4,
令H(t)=$\frac{2}{t}$-3t-4,則H′(t)=-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3<0,
所以H(t)在上[1,2]單調(diào)遞減,所以m<H(t)min=H(2)=-9;
由h′(4)=48+4(4+m)-2>0,解得:m>-$\frac{31}{2}$;
綜上得:-$\frac{31}{2}$<m<-9,
所以當(dāng)m在(-$\frac{31}{2}$,-9)內(nèi)取值時,對于任意的t∈[1,2],
函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù).
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,本題是一道難題.
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A. | $\frac{8}{9}$ | B. | $\frac{7}{5}$ | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | $\frac{8}{5}$ |
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A. | $\frac{4}{25}$ | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | $\frac{4}{9}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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