3.已知函數(shù)f(x)=lnx-x2-x.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)若函數(shù)g(x)=af(x)+ax2-3(a∈R)的圖象在點(2,g(2))處的切線與直線x-y=3平行,對于任意的t∈[1,2],函數(shù)$h(x)={x^3}+{x^2}[{g^'}(x)+\frac{m}{2}]$在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.

分析 (1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)先求出a的值,從而求出函數(shù)h(x)的表達(dá)式,求出h(x)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,得到不等式組,從而求出m的范圍.

解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{1}{x}$-2x-1=$\frac{1-{2x}^{2}-x}{x}$,
令f′(x)>0,即(2x-1)(x+1)<0,解得:0<x<$\frac{1}{2}$,
令f′(x)<0,即(2x-1)(x+1)>0,解得:x>$\frac{1}{2}$,
故f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)遞增,在($\frac{1}{2}$,+∞)遞減,
故f(x)的最大值是f($\frac{1}{2}$)=-ln2-$\frac{3}{4}$;
(2)g(x)=af(x)+ax2-3=alnx-ax-3,
g′(x)=$\frac{a}{x}$-a,g′(2)=$\frac{a}{2}$=1?a=-2,
∴g(x)=-2lnx+2x-3,g′(x)=2-$\frac{2}{x}$,
故h(x)=x3+(2+$\frac{m}{2}$)x2-2x,
∴h′(x)=3x2+(4+m)x-2,
∵函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù),
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總存在零點,
又∵函數(shù)h′(x)是開口向上的二次函數(shù),且h′(0)=-2<0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{h′(t)<0}\\{h′(4)<0}\end{array}\right.$,
由h′(t)<0?m<$\frac{2}{t}$-3t-4,
令H(t)=$\frac{2}{t}$-3t-4,則H′(t)=-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3<0,
所以H(t)在上[1,2]單調(diào)遞減,所以m<H(t)min=H(2)=-9;
由h′(4)=48+4(4+m)-2>0,解得:m>-$\frac{31}{2}$;
綜上得:-$\frac{31}{2}$<m<-9,
所以當(dāng)m在(-$\frac{31}{2}$,-9)內(nèi)取值時,對于任意的t∈[1,2],
函數(shù)h(x)在區(qū)間(t,4)上總不是單調(diào)函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,本題是一道難題.

練習(xí)冊系列答案
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15.已知直線過點P(2,1).
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18.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x2017標(biāo)準(zhǔn)差為4,若yi=2xi-1(i=1,2,3,…,2017),則數(shù)據(jù)y1,y2,…,y2017的標(biāo)準(zhǔn)差為8.

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8.如圖所示,兩個非共線向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ,N為OB中點,M為OA上靠近A的三等分點,點C在直線MN上,且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$(x、y∈R),則x2+y2的最小值為( 。
A.$\frac{4}{25}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{4}{9}$D.$\frac{2}{3}$

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15.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2},x<0}\\{-{x}^{2}+2x,x≥0}\end{array}\right.$,則f(2)=0.若f(f(x))≥9,則實數(shù)x的取值范圍是[3,+∞).

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10.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=3+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$(其中θ為參數(shù)).
(Ⅰ) 以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線C的極坐標(biāo)方程;
( II)直線l的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$(其中t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于A,B兩點,且$|AB|=2\sqrt{3}$,求直線l的斜率.

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8.已知abcd≠0,則“a,b,c,d成等比數(shù)列”是“ad=bc”的(  )
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C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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