Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²-x．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)g（x）=af（x）+ax²-3（a∈R）的圖象在點（2，g（2））處的切線與直線x-y=3平行，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)$h（x）={x^3}+{x^2}[{g^'}（x）+\frac{m}{2}]$在區(qū)間（t，4）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出a的值，從而求出函數(shù)h（x）的表達式，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x-1=$\frac{1-{2x}^{2}-x}{x}$，
令f′（x）＞0，即（2x-1）（x+1）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，即（2x-1）（x+1）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
故f（x）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{3}{4}$；
（2）g（x）=af（x）+ax²-3=alnx-ax-3，
g′（x）=$\frac{a}{x}$-a，g′（2）=$\frac{a}{2}$=1?a=-2，
∴g（x）=-2lnx+2x-3，g′（x）=2-$\frac{2}{x}$，
故h（x）=x³+（2+$\frac{m}{2}$）x²-2x，
∴h′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間（t，4）上總不是單調(diào)函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（t，4）上總存在零點，
又∵函數(shù)h′（x）是開口向上的二次函數(shù)，且h′（0）=-2＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h′（t）＜0}\\{h′（4）＜0}\end{array}\right.$，
由h′（t）＜0?m＜$\frac{2}{t}$-3t-4，
令H（t）=$\frac{2}{t}$-3t-4，則H′（t）=-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3＜0，
所以H（t）在上[1，2]單調(diào)遞減，所以m＜H（t）_min=H（2）=-9；
由h′（4）=48+4（4+m）-2＞0，解得：m＞-$\frac{31}{2}$；
綜上得：-$\frac{31}{2}$＜m＜-9，
所以當(dāng)m在（-$\frac{31}{2}$，-9）內(nèi)取值時，對于任意的t∈[1，2]，
函數(shù)h（x）在區(qū)間（t，4）上總不是單調(diào)函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，本題是一道難題．