Question

15．對于實數a，b，定義運算“□”：a□b=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-ab，a≤b}\\{^{2}-ab，a＞b}\end{array}\right.$設f（x）=（x-4）□（$\frac{7}{4}$x-4），若關于x的方程|f（x）-m|=1（m∈R）恰有四個互不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（-1，1）∪（2，4）．

Answer 1

分析 根據新定義得出f（x）的解析式，作出f（x）的函數圖象，則f（x）與y=m±1共有4個交點，根據圖象列出不等式組解出．

解答 解：解不等式x-4≤$\frac{7}{4}x$-4得x≥0，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x，x≥0}\\{\frac{21}{16}{x}^{2}-3x，x＜0}\end{array}\right.$，
畫出函數f（x）的大致圖象如圖所示．

因為關于x的方程|f（x）-m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四個互不相等的實數根，
所以兩直線y=m±1（m∈R）與曲線y=f（x）共有四個不同的交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞3}\\{0＜m-1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜m+1＜3}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+1=3}\\{m-1=0}\end{array}\right.$，
解得2＜m＜4或-1＜m＜1．
故答案為（-1，1）∪（2，4）．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．