分析 (1)求得圓E的圓心和半徑,由題意可得|PF1|=3,PF1⊥PF2,運(yùn)用中位線定理可得|PF2|=1,由橢圓的定義可得a=2,運(yùn)用勾股定理可得c,求得b,進(jìn)而得到橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得1+2k2=t2,化簡整理,運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法,即可得到所求最大值.
解答 解:(1)圓E:x2+y2-y-2=0的圓心為E(0,$\frac{1}{2}$),半徑為$\frac{3}{2}$,
由題意可得|PF1|=3,PF1⊥PF2,
由中位線定理可得|OE|=$\frac{1}{2}$|PF2|=$\frac{1}{2}$,即|PF2|=1,
由橢圓的定義可得2a=|PF1|+|PF2|=4,即a=2,
又|F1F2|2=|PF1|2-|PF2|2,
即為4c2=9-1=8,解答c=$\sqrt{2}$,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1;
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,代入橢圓方程x2+2y2-4=0,
可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得:
x1+x2=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{2{t}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(-$\frac{2kt}{1+2{k}^{2}}$,$\frac{t}{1+2{k}^{2}}$),
D(0,t),由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OD}$=1,可得1+2k2=t2,即k2=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,
即有M的坐標(biāo)為(-$\frac{2k}{t}$,$\frac{1}{t}$),
|OM|=$\sqrt{\frac{1+4{k}^{2}}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{t}^{2}-1}{{t}^{2}}}$,
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{t}^{2}}{{t}^{4}}-\frac{8{t}^{2}-16}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{2}}$•$\sqrt{\frac{8}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{1+{t}^{2}}{{t}^{2}}}$,
即有|OM|•|AB|=$\sqrt{\frac{2{t}^{2}-1}{{t}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{1+{t}^{2}}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{2{t}^{4}+{t}^{2}-1}{{t}^{4}}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{{t}^{4}}+\frac{1}{{t}^{2}}}$
=2$\sqrt{-(\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}}$,
當(dāng)$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,即t=±$\sqrt{2}$,k=±1時(shí),|OM|•|AB|取得最大值2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,以及橢圓的定義和勾股定理的運(yùn)用,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及二次函數(shù)的最值的求法,同時(shí)考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,1) | B. | (1,+∞) | C. | ($\frac{1}{5}$,1) | D. | ($\frac{1}{5}$,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=±x | B. | y=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$x | C. | y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$x | D. | y=±2x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 若α⊥β,則α內(nèi)一定存在直線平行于β | |
B. | 若α與β不垂直,則α內(nèi)一定不存在直線垂直于β | |
C. | 若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,則l⊥γ | |
D. | 若α⊥β,則α內(nèi)所有直線垂直于β |
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