Question

7．某鋼廠打算租用A，B兩種型號(hào)的火車車皮運(yùn)輸900噸鋼材，A，B兩種車皮的載貨量分別為36噸和60噸，租金分別為1.6萬元/個(gè)和2.4元/個(gè)，鋼廠要求租車皮總數(shù)不超過21個(gè)，且B型車皮不多于A型車皮7個(gè)，分別用x，y表示租用A，B兩種車皮的個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）分別租用A，B兩種車皮的個(gè)數(shù)是多少，才能使得租金最少？并求出此最小租金．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意列出不等式組，作出平面區(qū)域，
（Ⅱ）租金為z元，則目標(biāo)函數(shù)z=1.6x+2.4y，結(jié)合可行域找出最優(yōu)解的位置，列方程組解除最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）由已知x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}{36x+60y≥900}\\{x+y≤21}\\{y-x≤7}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分所示，
（Ⅱ）設(shè)租金為z元，則目標(biāo)函數(shù)z=1.6x+2.4y，
所以y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{12}$z，這是斜率為-$\frac{2}{3}$，在y軸上的截距為$\frac{5}{12}$z的一族平行直線，
當(dāng)$\frac{5}{12}$z取最小值時(shí)，z的值最小，
又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖可知，
當(dāng)直線z=1.6x+2.4y經(jīng)過可行域中的點(diǎn)M時(shí)，截距$\frac{5}{12}$z的值最小，即z的值最�。�
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{36x+60y=900}\\{y-x=7}\end{array}\right.$，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（5，12），
所以z_min=1.6×5+2.4×12=36.8萬元，
答：分別租用A，B兩種車皮5個(gè)，12個(gè)時(shí)租金最少，且最小租金為36.8萬元

點(diǎn)評(píng) 本題考查了最優(yōu)解的問題，要求我們建立目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件，并求目標(biāo)函數(shù)的最小值，著重考查了線性規(guī)劃知識(shí)，屬中檔題．