Question

6．計算橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成的平面圖形的面積A．

Answer 1

分析 因為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1關于x軸和y軸都是對稱的，所以所求之面積為s=4${∫}_{0}^{a}$$\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx，利用換元法，即可得出結論．

解答 解：因為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1關于x軸和y軸都是對稱的，
所以所求之面積為s=4${∫}_{0}^{a}$$\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx
令x=asinθ．（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）
則s=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{a}$•a•cosθ•a•cosθdθ=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cosθ）2dθ=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{1+cos2θ}{2}$dθ
=2ab[$\frac{π}{2}$+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos2θdθ]=2ab•$\frac{π}{2}$=πab．

點評 本題考查利用定積分求面積，考查換元方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．