Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow c$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），$（\overrightarrow c-2\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，則|$\overrightarrow c$|的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 設(shè)平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，解得θ=$\frac{π}{3}$．不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．由$（\overrightarrow c-2\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，可得：$（x-\frac{5}{4}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}$=$\frac{3}{4}$．可得|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值．

解答 解：設(shè)平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1-2cosθ=0，
解得θ=$\frac{π}{3}$．
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
∵$（\overrightarrow c-2\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，∴（x-$\frac{1}{2}$）（x-2）+$y（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=0，
化為$（x-\frac{5}{4}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}$=$\frac{3}{4}$．
則|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．