Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+2=2a_n，等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T₂=S₂=b₃．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，n=2時(shí)，分別求出a₁=2，a₂=4，設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為T_n，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n（n+1），令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n（n+1）-1}{4{n}^{2}-1}$=（-1）ⁿ•（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，討論n為偶數(shù)和奇數(shù)，即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁=2，
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=2a₂-2，
求得a₂=4，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為T_n，
T₂=S₂=b₃，可得b₁+b₁+d=a₁+a₂=b₁+2d=6，
解得b₁=d=2，
則b_n=2n；
（2）T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n（n+1），
令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n（n+1）-1}{4{n}^{2}-1}$
=（-1）ⁿ•（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和
R_n=-（1+1+$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）-（1+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1-$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）+（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=-1+$\frac{1}{2n+1}$=-$\frac{2n}{2n+1}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，R_n=R_n-1+c_n=-$\frac{2n-2}{2n-1}$-（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）=-$\frac{4n+3}{2n+1}$．
則R_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4n+3}{2n+1}，n為奇數(shù)}\\{-\frac{2n}{2n+1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，注意變形和化簡，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．