Question

11．在某大學(xué)自主招生的面試中，考生要從規(guī)定的6道科學(xué)題，4道人文題共10道題中，隨機(jī)抽取3道作答，每道題答對得10分，答錯(cuò)或不答扣5分，已知甲、乙兩名考生參加面試，甲只能答對其中的6道科學(xué)題，乙答對每道題的概率都是$\frac{2}{3}$，每個(gè)人答題正確與否互不影響．
（1）求考生甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
（2）求甲，乙兩人中至少有一人得分不少于15分的概率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)學(xué)生甲得分X的所有取值為-15，0，15，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲得分X的分布列為和EX．
（2）記事件A：“甲得分不少于15分”，記事件B：“乙得分不少于15分”．甲、乙兩人中至少有一人得分大于等于15分的概率為$P=1-P（\bar A•\bar B）=1-（1-P（A））（1-P（B））$．由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)學(xué)生甲得分X的所有取值為-15，0，15，30，
$P（X=-15）=\frac{C_6^0C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$，
$P（X=0）=\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$，
$P（X=15）=\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，
$P（X=30）=\frac{C_6^3C_4^0}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$．
∴甲得分X的分布列為

X	-15	0	15	30
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=-15×$\frac{1}{30}+0×\frac{3}{10}+15×\frac{1}{2}$+$30×\frac{1}{6}$=12．
（2）記事件A：“甲得分不少于15分”，
記事件B：“乙得分不少于15分”．
$P（A）=P（X=15）+P（X=30）=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$，
$P（B）=C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+C_3^3×{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{20}{27}$．
所以甲、乙兩人中至少有一人得分大于等于15分的概率為：$P=1-P（\bar A•\bar B）=1-（1-P（A））（1-P（B））=1-\frac{7}{27}×\frac{1}{3}=\frac{74}{81}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、是中檔題．