Question

18．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$．則使得sin²B+sin²C=msinBsinC成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，4]．

Answer 1

分析 先由三角形的面積公式和余弦定理以及兩角和的正弦公式可得b²+c²=4bcsin（A+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)正弦定理可得b²+c²=mbc，即可得到m=4sin（A+$\frac{π}{6}$），由正弦函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可求出范圍

解答 解：由三角形的面積公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²，即a²=2$\sqrt{3}$bcsinA
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴2$\sqrt{3}$bcsinA=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=2bc（$\sqrt{3}$sinA+cosA）=4bcsin（A+$\frac{π}{6}$）
∵sin²B+sin²C=msinBsinC，
由正弦定理可得b²+c²=mbc，
∴4bcsin（A+$\frac{π}{6}$）=mbc，
∴m=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1
∴-2＜m≤4，
∵b²+c²≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴mbc≥2bc，
∴m≥2，
綜上所述m的取值范圍為[2，4]，
故答案為：[2，4]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式以及基本不等式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題