Question

13．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，$|{\overrightarrow c}|=2$，$\overrightarrow b•\overrightarrow c=3$，則${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$最大值為（　�。�

• A． $4\sqrt{3}+3\sqrt{7}$
• B． $4\sqrt{7}+3\sqrt{3}$
• C． ${（4\sqrt{3}+3\sqrt{7}）^2}$
• D． ${（4\sqrt{7}+3\sqrt{3}）^2}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則由向量的數(shù)量積運算公式可知${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$最大值為4S${\;}_{△ABC}^{2}$，根據(jù)A點軌跡找出A到BC的最大距離即可求出最大值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$所成夾角為θ，
則${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$=|AB|²|AC|²-|AB|²|AC|²cos²θ=|AB|²|AC|²sin²θ=|AB|²|AC|²sin²∠CAB，
=4S²_△ABC，
∵$|{\overrightarrow b}|=3$，$|{\overrightarrow c}|=2$，$\overrightarrow b•\overrightarrow c=3$，∴$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$的夾角為60°，
設(shè)B（3，0，），C（1，$\sqrt{3}$），則|BC|=$\sqrt{7}$，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}×3×2×sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，設(shè)O到BC的距離為h，
則$\frac{1}{2}•BC•h$=S_△OBC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=4，∴A點落在以O(shè)為圓心，以4為半徑的圓上，
∴A到BC的距離最大值為4+h=4+$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．
∴S_△ABC的最大值為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}$×（4+$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）=2$\sqrt{7}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$最大值為4（2$\sqrt{7}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=（4$\sqrt{7}$+3$\sqrt{3}$）²．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．