Question

【題目】已知，函數(shù)，則下列說法正確的是( )

A.若，則的圖象上存在唯一一對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

B.存在實(shí)數(shù)使得的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

C.不存在實(shí)數(shù)使得的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)

D.若的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則

Answer 1

【答案】A

【解析】

求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的解析式和關(guān)于軸對(duì)稱的解析式，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況對(duì)比選項(xiàng)得到答案.

先求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的解析式，

設(shè)，則，，

令，則，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，因此是單調(diào)遞增的，

且，故當(dāng)，有唯一零點(diǎn)，

故A正確B錯(cuò)誤.

再求關(guān)于軸對(duì)稱的解析式，

設(shè)，則，，

令，，恒成立，

故單調(diào)遞增，，，

故存在使，即，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；

取，

則，函數(shù)有零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：A.