Question

12．已知函數f（x）=1+$\frac{4}{x}$，g（x）=log₂x；
設函數h（x）=g（x）-f（x）求函數h（x）在區(qū)間[2，4]上的值域；
定義min{p，q}表示p，q中較小者，設函數H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）
①求函數H（x）的最大值；
②若函數y=H（x）-k有兩個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷h（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞增，計算即可得到所求值域；
（2）①求出函數H（x）=min{f（x），g（x）}的分段函數，討論單調性，可得最大值；
②若函數y=H（x）-k有兩個零點等價于方程H（x）=k有兩個實根；作出函數H（x）的大致圖象，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）因為函數h（x）=g（x）-f（x）=log₂x-1-$\frac{4}{x}$
在區(qū)間[2，4]上單調遞增，
所以函數h（x）的值域為[-2，0]；-----------（4分）
（2）①函數H（x）=min{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤4}\\{1+\frac{4}{x}，x＞4}\end{array}\right.$，
顯然，函數H（x）在區(qū)間（0，4]上單調遞增，在區(qū)間（4，+∞）上單調遞減，
所以，函數H（x）的最大值為H（4）=2-------------（8分）
②若函數y=H（x）-k有兩個零點等價于方程H（x）=k有兩個實根；
作出函數H（x）的大致圖象，可知k的取值范圍是1＜k＜2-----------------（12分）

點評 本題考查函數的值域及最值的求法，注意運用函數的單調性和數形結合思想方法，屬于中檔題．