Question

4．從某次知識競賽中隨機抽取100名考生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，分數(shù)落在區(qū)間[55，65），[65，75），[75，85）內的頻率之比為4：2：1．
（Ⅰ）求這些分數(shù)落在區(qū)間[55，65]內的頻率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2個分數(shù)，求這2個分數(shù)都在區(qū)間[55，75]內的概率．

Answer 1

分析 （I）由題意，質量指標值落在區(qū)間[55，65），[65，75），[75，85]內的頻率之和，利用之比為4：2：1，即可求出這些產品質量指標值落在區(qū)間[55，65]內的頻率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，利用列舉法確定基本事件，從而求出概率．

解答 解：（Ⅰ）設區(qū)間[75，85）內的頻率為x，
則區(qū)間[55，65），[65，75）內的頻率分別為4x和2x．…（1分）
依題意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，…（3分）
解得x=0.05．所以區(qū)間[55，65]內的頻率為0.2．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，區(qū)間[45，55），[55，65），[65，75）內的頻率依次為0.3，0.2，0.1．
用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，
則在區(qū)間[45，55）內應抽取$6×\frac{0.3}{0.3+0.2+0.1}=3$件，記為A₁，A₂，A₃．
在區(qū)間[55，65）內應抽取$6×\frac{0.2}{0.3+0.2+0.1}=2$件，記為B₁，B₂．
在區(qū)間[65，75）內應抽取$6×\frac{0.1}{0.3+0.2+0.1}=1$件，記為C．…（6分）
設“從樣本中任意抽取2件產品，這2件產品都在區(qū)間[55，75]內”為事件M，
則所有的基本事件有：{A₁，A₂}，{A₁，A₃}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，C}，{A₂，A₃}，{A₂，B₁}，{A₂，B₂}，{A₂，C}，{A₃，B₁}，{A₃，B₂}，{A₃，C}，{B₁，B₂}，{B₁，C}，{B₂，C}，共15種．…（8分）
事件M包含的基本事件有：{B₁，B₂}，{B₁，C}，{B₂，C}，共3種．…（10分）
所以這2件產品都在區(qū)間[55，75]內的概率為$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．…（12分）

點評 本題考查概率分布在實際問題中的應用，結合了統(tǒng)計的知識，綜合性較強，屬于中檔題．