Question

15．已知a＞0，b＞0．
（1）求證：$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$；
（2）若a+b=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$≥8．

Answer 1

分析 （1）不等式兩邊同時加$\sqrt{a}+\sqrt$，在左邊分組使用基本不等式即可得出結(jié)論；
（2）利用基本不等式得出ab的范圍，將$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$通分得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵$\frac{a}{\sqrt}+\sqrt$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{\sqrt{a}}+\sqrt{a}$≥2$\sqrt$，
∴$\frac{a}{\sqrt}+\frac{\sqrt{a}}$+$\sqrt{a}$+$\sqrt$≥2$\sqrt{a}$+2$\sqrt$，
∴$\frac{a}{\sqrt}+\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt$．
（2）∵$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{ab}$≥4，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥8．

點評 本題考查了基本不等式的變型與應(yīng)用，不等式的證明，屬于中檔題．