Question

5．己知PE、PF是⊙O的切線，A、B是一組對(duì)徑點(diǎn)，PB交⊙O于另一點(diǎn)C，直線AF、BE交于D點(diǎn)．求證：∠PCD=∠PCE．

Answer 1

分析 連接AE，OE，OF，PD．可得∠AEB=∠OEP=∠OFP=90°，OE=OB=OA=OF，∠OEF=∠OFE=$\frac{1}{2}$∠EPF，∠PEB=∠PCE，∠OEB=∠OBE．可得：點(diǎn)D在以P為圓心，PE的長為半徑的圓上．進(jìn)而證明E，C，D，P四點(diǎn)共圓，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AE，OE，OF，PD．可得∠AEB=∠OEP=∠OFP=90°，OE=OB=OA=OF，
∠OEF=∠OFE=$\frac{1}{2}$∠EPF，∠PEB=∠PCE，
∠OEB=∠OBE．
∵∠EDA=∠EBA-∠BAD=∠BEO-∠BEF=∠OEF=$\frac{1}{2}∠EPF$，PE=PF．
∴點(diǎn)D在以P為圓心，PE的長為半徑的圓上．
∴PE=PD，∴∠PED=∠PDE，∠ECP=∠PDE，
∴E，C，D，P四點(diǎn)共圓，
∴∠PED=∠PCD．
∴∠PCD=∠PCE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓，本題條件比較多，考查了較強(qiáng)的推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．