Question

10．如圖，已知圓N：x²+（y+$\sqrt{5}$）²=36，P是圓N上的點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段NP上，且有點(diǎn)D（0，$\sqrt{5}$）和DP上的點(diǎn)M，滿足$\overrightarrow{DP}$=2$\overrightarrow{DM}$，$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{DP}$=0．
（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）若斜率為$\frac{3}{2}$的直線l與（1）中所求Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)A、B，又點(diǎn)C（$\frac{4}{3}$，2），求△ABC面積最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用橢圓的定義，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）△ABC的面積取到最大值問(wèn)題，要先建立關(guān)于某個(gè)自變量的函數(shù)，后再求此函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）由題意，MQ是線段DP的中垂線，∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6＞|DN|=2$\sqrt{5}$，
∴Q的軌跡是以D，N為焦點(diǎn)的橢圓，且c=$\sqrt{5}$，a=3，b=2，
∴求點(diǎn)Q的軌跡方程是$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)l：y=$\frac{3}{2}$x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與橢圓聯(lián)立，可得9x²+6mx+2m²-18=0，
x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$m，x₁•x₂=$\frac{1}{9}$（2m²-18），
|AB|=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$•$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{9}-\frac{8（{m}^{2}-9）}{9}}$=$\sqrt{\frac{13}{9}（-{m}^{2}+18）}$，
C（$\frac{4}{3}$，2）到直線l的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{13}}$，
S=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{3}\sqrt{-{m}^{4}+18{m}^{2}}$，
∴m=±3時(shí)，S最大，此時(shí)直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x±3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積的計(jì)算，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．