Question

11．設(shè)命題$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$，命題q：當(dāng)$?x∈（{0，\frac{π}{2}}），（{sinx-a}）（{cosx-a}）={a^2}$．
（1）當(dāng)a=-1時，分別判斷命題p和q的真假；
（2）如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時，命題$p：?n∈{N}^{*}，{（-1）}^{n+1}＜2+\frac{{（-1）}^{n+1}}{n}$，即$（1-\frac{1}{n}{）（-1）}^{n+1}＜2$，可判斷其真假；
命題q：當(dāng)$?x∈（0，\frac{π}{2}），（sinx+1）（cosx+1）=1$，即$?x∈（0，\frac{π}{2}）$，sinx+cosx=-sinxcosx，可判斷其真假；
（2）如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，則命題p，q一真一假，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，
命題$p：?n∈{N}^{*}，{（-1）}^{n+1}＜2+\frac{{（-1）}^{n+1}}{n}$，
即$（1-\frac{1}{n}{）（-1）}^{n+1}＜2$恒成立，
故命題p為真命題；
命題q：當(dāng)$?x∈（0，\frac{π}{2}），（sinx+1）（cosx+1）=1$，
即$?x∈（0，\frac{π}{2}）$，sinx+cosx=-sinxcosx，
由sinx+cosx＞0，-sinxcosx＜0得：命題q為假命題，
（2）若命題$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$為真，
即$\left\{\begin{array}{l}2a+1＞-2-\frac{1}{n}，n為奇數(shù)\\ 2a+1＜2-\frac{1}{n}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}2a＞-3-\frac{1}{n}，n為奇數(shù)\\ 2a＜1-\frac{1}{n}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}2a≥-3\\ 2a＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：a∈$[-\frac{3}{2}，\frac{1}{4}）$，
若命題q：當(dāng)$?x∈（{0，\frac{π}{2}}），（{sinx-a}）（{cosx-a}）={a^2}$為真，
即sinx+cosx=asinxcosx，
即a=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$，
令t=sinx+cosx，t∈（1，$\sqrt{2}$]，
則a=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，
則命題p，q一真一假；
當(dāng)p真q假時，a∈$[-\frac{3}{2}，0]$，
當(dāng)p假q真時，a∈$[\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}]$，
綜上可得：a∈$[-\frac{3}{2}，0]$∪$[\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}]$．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了四種命題，特稱命題的否定，難度中檔．