Question

函數f（x）=ax³+x²+x+1有極值的充要條件是（　�。�

• A、a＞

  1

  3

• B、a≥

  1

  3

• C、a＜

  1

  3

• D、a≤

  1

  3

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：若a≠0，三次函數f（x）=ax³+x²+x+1有極值，f′（x）=0有不相等的兩個解，利用判別式即可求得結論，若a=0，函數為二次函數可知有極值．

解答： 解：求得導函數f′（x）=3ax²+2x+1，
若a≠0，三次函數f（x）有極值，則f′（x）=0有不相等的兩個解，
∴△=4-12a＞0，∴a＜

1

3

，
若a=0，導函數f′（x）=3ax²+2x+1=2x+1
令f′（x）＞0，則x＞-

1

2

；令f′（x）＜0，則x＜-

1

2

；
∴函數在x=-

1

2

處取得極小值．
故選C

點評：本題主要考查了函數的導數與極值的關系，以及充要條件的判斷，屬于中檔題．