Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且AB=AC=PB=2，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，M為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)MO，由O為AC的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn)，可得MO∥PB，然后利用線面平行的判斷得答案；
（Ⅱ）由已知解直角三角形求得PO，把三棱錐P-MAC的體積轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{2}$V_P-ADC求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)MO，
在△PDB中，∵O為AC的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn)，
∴MO∥PB，MO=$\frac{1}{2}PB$，
又MO?平面AMC，PB?平面AMC，
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥OB，
又△ABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，
∴BO=$\sqrt{3}$，
在Rt△POB中，PB=2，BO=$\sqrt{3}$，可得PO=1，
∴${V_{P-MAC}}={V_{P-DAC}}-{V_{M-DAC}}={V_{P-DAC}}-\frac{1}{2}{V_{P-DAC}}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判斷，考查了利用等積法求三棱錐的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．