Question

10．全美職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA）某年度總決賽在克利夫蘭騎士隊與金州勇士隊之間角逐，比賽采用七局四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊獲勝，比賽就此結(jié)束．因兩隊實力相當(dāng)，故每場比賽獲勝的可能性相等．據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽組織者可獲得門票收入2000萬美元，以后每場比賽門票收入比上一場增加100萬美元．當(dāng)兩隊決出勝負后，
問：（1）組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬美元的概率為多少？
（2）某隊在比賽過程中曾一度比分（勝一場得1分）落后2分以上（含2分），最后取得全場勝利稱為“逆襲”，求騎士隊“逆襲”獲勝的概率；
（3）求此次決賽所需比賽場數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）計算比賽場次，再求出相應(yīng)的概率，即可求出組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬元的概率；
（2）若騎士隊“逆襲”獲勝，可能通過6場或7場獲勝，分類求概率，即可求出騎士隊“逆襲”獲勝的概率；
（3）所需比賽場數(shù)ξ是隨機變量，其取值為4，5，6，7．求出相應(yīng)的概率，即可得出決賽所需比賽場數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)比賽場次為n，則組織者獲得門票收入為2000n+$\frac{n（n-1）}{2}×100$≥13500，
解得n≥6，故至少要比賽6場．
設(shè)事件A_i表示決賽進行i場，（i=4，5，6，7）
若比賽進行6場，則其中1隊在前5場贏了3場，并在第6場贏球，
∴P（A₆）=2×${C}_{5}^{3}$（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）²$•\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
若比賽進行7場，則兩隊在前6場各贏3場，
∴P（A₇）=${C}_{6}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{5}{16}$，
∴收入不少于13500萬元的概率為$\frac{5}{16}+\frac{5}{16}$=$\frac{5}{8}$．
（2）若騎士隊“逆襲”獲勝，可能通過6場或7場獲勝．
當(dāng)6場獲勝時，則1、2場敗，3、4、5、6勝，概率為（$\frac{1}{2}$）⁶=$\frac{1}{64}$；
當(dāng)7場獲勝時，則4勝3敗，
①若前2場都敗，則另外1敗可以任意發(fā)生在第3、4、5、6中的一場，所以“逆襲”獲勝概率為C${\;}_{4}^{1}$•（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{32}$．
②若前2場1勝1敗，則第3、4場必須敗，所以“逆襲”獲勝概率為${C}_{2}^{1}•$（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{64}$，
故騎士隊“逆襲”獲勝的概率為$\frac{1}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$=$\frac{1}{16}$．
（3）設(shè)比賽場數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為4，5，6，7．
則P（ξ=4）=${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{8}$，P（ξ=5）=2${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）⁴$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，由（1）知P（ξ=6）=$\frac{5}{16}$，P（ξ=7）=$\frac{5}{16}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

∴E（ξ）=4×$\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{5}{16}$+7×$\frac{5}{16}$=$\frac{93}{16}$．

點評 本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求概率是關(guān)鍵．