Question

10．過雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的右支上的一點P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點，其中P是AB的中點；
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）當P坐標為（x₀，2）時，求直線l的方程；
（3）求證：|OA|•|OB|是一個定值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的a，b，由雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即可得到所求；
（2）令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標，再由中點坐標公式，設A（m，2m），B（n，-2n），可得A，B的坐標，運用點斜式方程，即可得到所求直線方程；
（3）設P（x₀，y₀），A（m，2m），B（n，-2n），代入雙曲線的方程，運用中點坐標公式，求得m，n，運用兩點的距離公式，即可得到定值．

解答 解：（1）雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的a=1，b=2，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±2x；
（2）令y=2可得x₀²=1+$\frac{4}{4}$=2，
解得x₀=$\sqrt{2}$，（負的舍去），
設A（m，2m），B（n，-2n），
由P為AB的中點，可得m+n=2$\sqrt{2}$，2m-2n=4，
解得m=$\sqrt{2}$+1，n=$\sqrt{2}$-1，
即有A（$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$+2），
可得PA的斜率為k=$\frac{2\sqrt{2}+2-2}{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則直線l的方程為y-2=2$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$），
即為y=2$\sqrt{2}$x-2；
（3）證明：設P（x₀，y₀），即有x₀²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
設A（m，2m），B（n，-2n），
由P為AB的中點，可得m+n=2x₀，2m-2n=2y₀，
解得m=x₀+$\frac{1}{2}$y₀，n=x₀-$\frac{1}{2}$y₀，
則|OA|•|OB|=$\sqrt{1+4}$|m|•$\sqrt{1+4}$|n|=5|mn|=5|（x₀+$\frac{1}{2}$y₀）（x₀-$\frac{1}{2}$y₀）|
=5|x₀²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$|=5為定值．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，同時考查直線方程的運用，以及中點坐標公式的運用，屬于中檔題．