Question

5．甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊獲勝的概率是$\frac{1}{2}$外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是$\frac{2}{3}$．假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．
（1）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率；
（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分，對方得1分．求乙隊得分X的分布列．

Answer 1

分析 （1）由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨立，求出對應(yīng)的概率值即可；
（2）由題意知，隨機變量X的所有可能的取值，根據(jù)事件的互斥性計算概率值，從而寫出X的分布列．

解答 解：（1）記“甲隊以3：0勝利”為事件A₁，
“甲隊以3：1勝利”為事件A₂，
“甲隊以3：2勝利”為事件A₃，
由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨立，
所以P（A₁）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（A₂）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•（1-$\frac{2}{3}$）•$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（A₃）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${（1-\frac{2}{3}）}^{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{27}$；
所以甲隊以3：0勝利、以3：1勝利的概率都為$\frac{8}{27}$，
以3：2勝利的概率為$\frac{4}{27}$；
（2）設(shè)“乙隊以3：2勝利”為事件A₄，
由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨立，
所以P（A₄）=${C}_{4}^{2}$•${（1-\frac{2}{3}）}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{27}$；
由題意知，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，
根據(jù)事件的互斥性得
P（X=0）=P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{16}{27}$；
又P（X=1）=P（A₃）=$\frac{4}{27}$，
P（X=2）=P（A₄）=$\frac{4}{27}$，
P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=$\frac{3}{27}$，
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{16}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{3}{27}$

點評 本題考查了相互獨立性事件的概率計算與分布列問題，是綜合題．