Question

14．如圖1，ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（　　）

• A． $\sqrt{6}π$
• B． 6π
• C． $4\sqrt{3}π$
• D． 12π

Answer 1

分析 由已知得PA、PF、PE兩兩垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF為棱構(gòu)造一個(gè)長方體，則四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)長方體的外接球上，由此能求出該球的表面積．

解答 解：∵ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，
將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，
∴PA、PF、PE兩兩垂直，且PA=2，PE=PF=1，
以PA、PE、PF為棱構(gòu)造一個(gè)長方體，
則四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)長方體的外接球上，
∴這個(gè)球的半徑為R=$\frac{\sqrt{1+1+4}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴該球的表面積是S=4πR²=4π×$\frac{6}{4}$=6π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球、四面體的性質(zhì)及構(gòu)造法的合理應(yīng)用．