Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-kx+1，若存在α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），使f（sinα）=f（cosα）．
（I）當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，求tanα的值；
（II）求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的對稱軸，根據(jù)f（sinα）=f（cosα），得到sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求出α的值，求出tanα即可；
（Ⅱ）求出α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），得到sinπ＜sin（α+$\frac{π}{4}$）＜sin$\frac{3π}{4}$，得到關(guān)于k的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sinα≠cosα，
f（x）關(guān)于x=$\frac{k}{2}$對稱，又f（sinα）=f（cosα），
∴$\frac{k}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{sinα+cosα}{2}$，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），
∴α+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，解得：α=$\frac{7π}{12}$，
∴tanα=tan$\frac{7π}{12}$=tan（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{5π}{6}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{5π}{6}tan\frac{π}{4}}$=-2-$\sqrt{3}$；     
（Ⅱ）∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴sinα≠cosα，
f（x）關(guān)于x=$\frac{k}{2}$對稱，又f（sinα）=f（cosα），
∴$\frac{k}{2}$=$\frac{sinα+cosα}{2}$，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}k}{2}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），
∴sinπ＜sin（α+$\frac{π}{4}$）＜sin$\frac{3π}{4}$，
即0＜$\frac{\sqrt{2}k}{2}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：0＜k＜1，
故k∈（0，1）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．