Question

3．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ
（1）若l的參數(shù)方程中的t=$\sqrt{2}$時(shí)，得到M點(diǎn)，求M的極坐標(biāo)和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（1，1），l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$．

Answer 1

分析 （1）t=$\sqrt{2}$代入直線l的參數(shù)方程求出M（0，2），從而求出點(diǎn)M的極坐標(biāo)，由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程得${t}^{2}+3\sqrt{2}t-4=0$，由此利用韋達(dá)定理能求出$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
l的參數(shù)方程中的t=$\sqrt{2}$時(shí)，得到M點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為M（0，2），
∴$ρ=\sqrt{0+4}=2$，$θ=\frac{π}{2}$，∴點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M（2，$\frac{π}{2}$），
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，即ρ²=6ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²-6x+y²=0．
（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程得：
${t}^{2}+3\sqrt{2}t-4=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-4＜0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$
=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{34}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．