Question

2．如圖，已知三棱錐A-OCB中，AO⊥底面BOC，且∠BAO=∠CAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，記二面角B-AO-C的大小為θ．
（1）求三棱錐A-OCB體積V的最大值；
（2）當(dāng)$θ=\frac{2π}{3}$時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由條件，∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，即為θ，從而求出V=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由此求出當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，V取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角C-OD-B的余弦值．

解答 解：（1）由條件，∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，即為θ，
V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BO×OC×sinθ×AO$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，V取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在直線為y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，0，2$\sqrt{3}$），B（0，2，0），D（0，1，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，-1，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面COD的法向量，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
平面AOB的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角C-OD-B的平面角為θ，由圖形知θ是鈍角，
則cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角C-OD-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐子的體積的最大值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．