Question

7．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f（x）≤M成立，則稱f（x）是D上的確界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上確界，已知函數(shù)f（x）=1-3•2^x+a•4^x．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為確界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是以4為上確界的確界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時令t=2^x ，由x＞0 可得t＞1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出值域，再根據(jù)g（t）的值域，故不存在常數(shù)M，使f（x）≤M成立，從而得出結(jié)論．  
（2）由題意知當(dāng)x＜0時，f（x）≤4恒成立，利用換元和分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，從而得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=1-3•2^x+4^x．
令t=2^x ，由x＞0 可得t＞1，f（x）=h（t）=t²-3t+1=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的值域為[-$\frac{5}{4}$，+∞）
∵f（x）沒有最大值，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上不是確界函數(shù)；，
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是以4為上確界的確界函數(shù)，
則當(dāng)x＜0時，f（x）≤4恒成立．
f（x）=1-3•2^x+a•4^x≤4恒成立，
設(shè)2^x=t，則0＜t≤1，
∴f（t）=1-3t+at²≤4，
∴a≤$\frac{3t+3}{{t}^{2}}$在（0，1]上恒成立，
設(shè)g（t）=$\frac{3t+3}{{t}^{2}}$，
∴g′（t）=3（-$\frac{1}{t}$-$\frac{2}{{t}^{3}}$）＜0恒成立，
∴g（t）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（t）≤g（1）=6，
∴a≤6，
即a的范圍為（-∞，6]．

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、新定義，函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．