Question

12．數列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{3}$，對任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，則$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整數部分是2．

Answer 1

分析 對任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，于是$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$．由${a}_{1}=\frac{1}{3}$，a₂＜1，a₃＜1，a₄＞1，可得n≥4時，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1），即可得出．

解答 解：∵對任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=-$（\frac{1}{{a}_{2017}}-\frac{1}{{a}_{2016}}）$-$（\frac{1}{{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2015}}）$-…-$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$．
∵a₂=$（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，a₃=$（\frac{4}{9}）^{2}+\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$，a₄=$（\frac{52}{81}）^{2}+\frac{52}{81}$=$\frac{6916}{6561}$＞1，
∴n≥4時，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1），
∴3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$∈（2，3）．
∴$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整數部分是2．
故答案為：2．

點評 本題考查了數列遞推關系、“裂項求和”方法、整數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．