Question

11．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-b，若a=1，求函數(shù)g（x）在（1，g（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線的方程；
（2）先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后求出導(dǎo)函數(shù)的根，討論a的取值范圍分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，使（0，2）是增區(qū)間的子集即可，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=f（x）-b=-x³+x²，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-3x²+2x，
函數(shù)g（x）在（1，g（1））處的切線斜率為-3+2=-1，
切點為（1，0），可得切線的方程為y=-（x-1），
即x+y-1=0；
（2）由題意，得f'（x）=-3x²+2ax，
令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{3}$a，
當(dāng)a＜0時，由f′（x）＞0，解得$\frac{2a}{3}$＜x＜0，
所以f（x）在（$\frac{2a}{3}$，0）上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；
當(dāng)a=0時，由f'（x）=-3x²≤0，與題意不符，舍去；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{2a}{3}$，
所以f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上是增函數(shù)，
又f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，
所以$\frac{2a}{3}$≥2，解得a≥3，
綜上，a的取值范圍為[3，+∞）．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論的綜合運用，屬于中檔題．