Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為${P^'}（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）$；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：
①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；
②若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱；
③單位圓的“伴隨曲線”是它自身；
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用新定義，轉(zhuǎn)化求解判斷4個(gè)命題，是否滿足新定義，推出結(jié)果即可．

解答 解：對(duì)于①，若令P（1，1），則其“伴隨點(diǎn)”為$P'（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$，
而$P'（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$的“伴隨點(diǎn)”為（-1，-1），而不是P，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，設(shè)曲線f（x，y）=0關(guān)于x軸對(duì)稱，
則f（x，-y）=0與方程f（x，y）=0表示同一曲線，其“伴隨曲線”分別為
$f（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$與$f（\frac{-y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$也表示同一曲線，
又曲線$f（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$與曲線$f（\frac{-y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以②正確；
對(duì)于③，設(shè)單位圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（cosx，sinx），其“伴隨點(diǎn)”為P'（sinx，-cosx）仍在單位圓上，故③正確；
對(duì)于④，直線y=kx+b上任一點(diǎn)P（x，y）的“伴隨點(diǎn)”為${P^'}（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）$，
∴P′的軌跡是圓，故④錯(cuò)誤，
所以正確的為序號(hào)為②③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．