Question

19．已知函數(shù)f（x）=2x³-ax²+8．
（1）若f（x）＜0對?x∈[1，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)a，使得函數(shù)g（x）=f（x）+4ax²-12a²x+3a³-8在區(qū)間（0，2）上存在極小值，若存在，求出所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為$a＞\frac{{2{x^3}+8}}{x^2}=2x+\frac{8}{x^2}$，設(shè)$h（x）=2x+\frac{8}{x^2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的值即可．

解答 解：（1）由f（x）＜0得$a＞\frac{{2{x^3}+8}}{x^2}=2x+\frac{8}{x^2}$，
設(shè)$h（x）=2x+\frac{8}{x^2}$，則$h′（x）=2-\frac{16}{x^3}$，
∵x∈[，2]，∴h′（x）≤0，則h（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（1）=10，∵f（x）＜0對?x∈[1，2]恒成立，
即$a＞2x+\frac{8}{x^2}$對?x∈[1，2]恒成立，
∴a＞10，則實數(shù)a的取值范圍為（10，+∞）．
（2）∵g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，
∴g′（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a），
①當(dāng)a=0時，g′（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，無極值．
②當(dāng)a＞0時，若x＜-2a，或x＞a，則g′（x）＞0；若-2a＜x＜a，則g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=a時，有極小值．∵g（x）在（0，2）上有極小值，
∴0＜a＜2，∴存在整數(shù)a=1．
③當(dāng)a＜0時，若x＜a或x＞-2a，則g′（x）＞0；若a＜x＜-2a，則g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=-2a時，g（x）有極小值．∵g（x）在（0，2）上有極小值，
∴0＜-2a＜2，得：-1＜a＜0，
由①②③得，存在整數(shù)a=1，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）上存在極小值．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．